1.1.1 空间向量及其运算

 

一．教学目标

 

（三）学情分析

空间向量是平面向量的延伸，在学习空间向量之前，学生应该可以较好地进行平面向量的线性运算，但对于将空间中平移到同一起点即同一平面上后,利用平面向量中的三角形法则和平行四边形法则计算这两个向量的线性计算，学生可能很难理解或想象空间向量进行平移到同一平面上，因此在教学中可以适当利用教学设备，展示向量移动的动画，加强学生的理解.

 

（四）教学重难点

1.重点：通过类比平面向量的概念来归纳并理解空间向量的含义，发现空间向量也与平面向量满足线性运算(加法、减法和数乘），懂得运算律.

2.难点：空间向量的共线定理和共面定理在简单空间几何体中的计算和应用.

   通过“平面向量及其应用”的学习，我们知道，平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，从而平面图形的问题可以利用平面向量的方法解决.在 “立体几何初步”中，我们研究了空间几何体的结构特征以及空间中点、线、面的位置关系.那么，我们能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量解决立体几何问题，带着这个问题进入我们今天的学习。

 

 

二．情景引入

 

 

三．新知初探

（一）空间向量的有关概念

1.定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量．

2.模(或长度)：向量的大小．

3.表示方法：

①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为→(AB)，模为|→(AB)|．

②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…．

     在正方体中，过同一个顶点O的三条棱上的三条有向线段表示的三个向量

,它们是不共面的向量，即它们是不同在任何一个平面内的三个向量.

4.几类特殊的向量

(1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0．

(2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量．

(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量．

(4)相反向量：大小相等、方向相反的向量称为相反向量．

空间中的任意两个非零向量，都可以通过平移使它们的起点重合。因此，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量

记

 

 

 

 

（二）空间向量的线性运算

1.空间向量的加法、减法

运算：空间向量的加法、减法运算与平面向量的运算一样

图1

如图1，→(OB)＝→(OA)＋→(AB)＝a＋b，→(CA)＝→(OA)－→(OC)＝a－b．

运算律：

①交换律： 

②结合律：

2.空间向量的数乘运算

运算：空间向量的数乘运算与平面向量的运算一样.

给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中：

①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向：

(ⅰ)当λ＞0时，与a的方向相同；

(ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反．

②当λ＝0或a＝0时，λa＝0．

 

当时，,当时，,

当时，

运算律：

①结合律：

②分配律：①λa＋μa＝(λ＋μ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb．

探究思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？

[提示] 没有关系．

 

3.知识拓展

⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：

 

    

 

 

 

⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：

 

 

 

 

4.互动探究

在平行六面体 中，分别标出                        表示的向量.从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？

发现：

即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平

行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示

的向量．

发现：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.

 

（三）共线向量

1.定义

表示若干空间向量的有向线段所在的直线 互相平行或重合，则这些向量叫做 共线向量或平行向量．

规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有.

探究思考

对任意两个空间向量a与b,如果ab (∈R) , a与b有什么位置关系？

反之，a与b有什么位置关系时ab

2.共线向量定理：

对于空间任意两个向量a, b,的充要条件是存在实数使ab

3 直线的方向向量

如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一     点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得a

我们把与向量a平行的非零向量称为直线的方向向量.

    这样，直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。

 

（四）共面向量

如图：如果表示向量a的有向线段所在的直线 OA与直线平行或重合，那么称向量a平行于直线.  

1.定义

如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量a平行于平面.

平行于同一个平面的向量叫做共面向量．

我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的。那么，什么情况下三个空间向量共面呢？

 

 

探究思考

对平面内任意两个不共线向量，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量，可以写成，其中是唯一确定的有序实数对。

对两个不共线的空间向量，如果，那么向量与向量有什么位置关系？反过来，向量与向量有什么位置关系时，？

猜想：空间两个向量 不共线，向量与向量共面存在唯一的有序实数对，使。

 

2.共面向量定理：

空间两个向量不共线,那么向量与共面的充要条件是存在唯一的有序实数对使。

证明：（1）必要性

如果向量与向量共面，则通过平移一定可以使它们位于同一平面内，由平面向量基本定理可知，一定存在唯一的有序实数对，使。

（2）充分性

如果向量满足，则可以选定一点,

作，

于是，

显然都在平面内，故向量与向量共面

 

3.推论（四点共面）：

空间一点位于内存在有序实数对，使;

     注意：空间四点P、M、A、B共面等价于存在唯一实数对，使;

    或空间任一点，有.也可以表示为(其中)

 

 

四．小试牛刀

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)空间向量，若，则． ( )

(2)相等向量一定是共线向量． ( )

(3)三个空间向量一定是共面向量． ( )

(4)零向量没有方向． ( )

[提示] (1)×　若时，与 不一定平行．

(2)√　相等向量一定共线，但共线不一定相等．

(3)×　空间两个向量一定是共面向量，但三个空间向量可能是共面的，也可以是不共面的．

(4)×　零向量有方向，它的方向是任意的．

 

2．在三棱锥中，若是正三角形，E为其中心，则→(AB)＋2(1)→(BC)－2(3)→(DE)－→(AD)化简的结果为      ．

[考点]：空间向量的线性运算。

[解析]：延长DE交边BC于点F，连接AF,则有

→(AB)＋2(1)→(BC)＝→(AF)，2(3)→(DE)＋→(AD)＝→(AD)＋→(DF)＝→(AF)，故→(AB)＋2(1)→(BC)－2(3)→(DE)－→(AD)＝.

五．例题讲解

例：如图，已知,过平面AC外一点O，作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使,

[求证]：E，F，G，H四点共面。

[思路探究]：欲证四点共面，只需证明共面.而由已知共面，可以利用向量运算由共面的表达式推得共面的表达式。

 

[证明]：，

是

    由向量共面的充要条件可知，共面，又过同一点E，从而四点共面.

六．课堂小结

1.空间向量的概念.

2.空间向量的加法、减法、数乘运算.

3.共线向量（平行向量）的概念及空间向量共线的充要条件及其应用.

4.共面向量的概念及向量共面的充要条件及其应用.

 

 

七．课堂答疑

（一）对共面向量充要条件定理的证明的理解

必要性的证明：是根据平面向量基本定理得出的，比较好理解。

充分性的证明：当都为或部分为零向量的时候，充分性显然成立.

当 都不是零向量时，因为 分别与共线，所以都在

 确定的平面内.

又因为 是以 为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，且此平行四边形在 确定的平面内，所以在确定的平面内。

所以共面

由共面向量的充要条件，可以建立平面的参数方程，将平面用点和向量表

示出来，这就是用空间向量解决立体几何问题的基础.

（二）对四点共面充要条件定理的理解

空间四点P,M,A,B四点共面等价于存在唯一的实数对，使;

我们将四点共面问题转化为有公共起点的三个向量的共面问题。

空间四点P、M、A、B共面等价于（其中）

我们将四点共面问题转化为空间中同一个起点的向量的线性运算问题。

练习：

 

【详解】根据共面向量定理，P,Q,R,S,都写成以A为起点的有向线段，只需判断           

  的系数和是否为1.

或者我们也可以将P,Q,R,S,四点共面问题转化为同一起点的三个向量的共面问题来求解。

 

解法2：根据共面向量定理，P,Q,R,S,都可以写成以A为起点的有向线段，

只需判断的系数和是否为1.

 

例1.如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．

思路探究：判断与是否共线，即判断

是否存在实数使得成立.

[解析]：因为四边形ABEF为平行四边形，所以连接AE时，AE必过点N.

 

所以，即与共线．

 

 

例2.已知:A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若点M满足.

(1).判断三个向量是否共面；

(2).判断M是否在平面ABC内．

思路探究：

(1).根据向量共面的充要条件，即判断是否满足；

(2).根据(1)的结论，也可以利用中是否等于1来判断.

[解析]：（1），

,  ∴向量共面．

(2).由(1)知向量共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内．

 

例3.已知:正四棱锥P-ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值．

(1).；

(2).

思路探究：本题考查的是空间向量的线性运算. 

[解析]:(1).如图 ,

.

(2). ∵O为AC的中点，Q为CD的中点，

∴,

∴，

∴，∴x＝2，y＝－2.

 

八．课后习题

1.下列说法中正确的是  ( )

A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反

B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|

C．空间向量的减法满足结合律

D．在四边形ABCD中，一定有→(AB)＋→(AD)＝→(AC)

【答案】B

【解析】对于A, |a|＝|b|，说明a与b模长相等，但方向不确定, A错误．

对于B,对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|， B正确．

对于C,只定义加法具有结合律，减法不具有结合律,C错误.

对于D,一般的四边形不具有→(AB)＋→(AD)＝→(AC)，只有平行四边形才能成立,D错误. 

故选：B

 

 

 

2．如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（       ）

A． B．

C．           D．

【答案】D

【解析】：.

故选：D

 

3.如图，在三棱锥中，E为OA的中点，点F在BC上，满足，记，，分别为，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】：在三棱锥中，E为OA的中点

，，

所以

故选：A

 

4．（多选题）给出下列四个命题，其中是真命题的有（       ）

A．若存在实数，，使，则与，共面；

B．若与，共面，则存在实数，，使；

C．若存在实数，，使则点，，A，共面；

D．若点，，A，共面，则存在实数，，使．

【答案】AC

【解析】：由向量共面定理可知A正确；

当，为零向量可知B错误；

由向量共面定理可知共面，又有共始点，所以点，，A，共面，故C正确；

当，A，三点共线，点P与，A，不共线时可知D错误.

故选：AC

 

5．如图所示，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设→(AA1)＝a，→(AB)＝b，→(AD)＝c，M，N，P分别是AA₁，BC，C₁D₁的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

(1)→(AP)；(2)→(A1N)；(3)→(MP)＋→(NC1)．

【解析】：(1)∵P是C₁D₁的中点，

∴→(AP)＝→(AA1)＋→(A1D1)＋→(D1P)＝a＋→(AD)＋2(1)→(D1C1)＝a＋c＋2(1)→(AB)

＝a＋c＋2(1)b．

(2)∵N是BC的中点，

∴→(A1N)＝→(A1A)＋→(AB)＋→(BN)＝－a＋b＋2(1)→(BC)＝－a＋b＋2(1)→(AD)＝－a＋b＋2(1)c．

(3)∵M是AA₁的中点，

∴→(MP)＝→(MA)＋→(AP)＝2(1)→(A1A)＋→(AP)

＝－2(1)a＋b(1)＝2(1)a＋2(1)b＋c．

又→(NC1)＝→(NC)＋→(CC1)＝2(1)→(BC)＋→(AA1)＝2(1)→(AD)＋→(AA1)＝2(1)c＋a，

∴→(MP)＋→(NC1)＝b＋c(1)＋c(1)＝2(3)a＋2(1)b＋2(3)c．

 

6.如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且，.

求证：四边形EFGH是梯形.

 

【解析】：因为分别为的中点，所以,

则 

，

所以且，

又由不在直线上，所以四边形为梯形.